2.十進(jìn)制與二進(jìn)制的互相轉(zhuǎn)化

今天，當(dāng)我們寫上一個(gè)數(shù)目 1997 時(shí)，實(shí)際上意味著我們使用了“十進(jìn)制”數(shù)，即

1997=1×1000+9×100＋9×10+7×1

也就是說：1997 中含有一個(gè) 1000，九個(gè) 100，九個(gè) 10 與七個(gè) 1。

在表 1 中可以看到：二進(jìn)制數(shù) 10 表示十進(jìn)制數(shù) 2；二進(jìn)制數(shù) 100，表示十進(jìn)制數(shù)

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4；二進(jìn)制數(shù) 1000，表示十進(jìn)制數(shù) 8；二進(jìn)制數(shù) 10000 表示十進(jìn)制數(shù) 16；…；可

以看出規(guī)律：二進(jìn)制數(shù) 100000 應(yīng)該表示十進(jìn)制數(shù) 32，…。那么我們寫下一個(gè)二進(jìn)制

數(shù) 10110，則應(yīng)表示它含有一個(gè) 16，一個(gè) 4 與一個(gè) 2，也就是

10110=1×16+0×8+1×4+1×2+0×1

明白了上面所說的兩點(diǎn)，則二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化的道理就容易懂了。為了

敘述的方便，我們約定：用（ ）2表示括號內(nèi)寫的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，如（1011）2；用（ ）

10 表示括號中寫的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如（37）10。

例 1 把（10110）2改寫成十進(jìn)制數(shù)。

解 （10110）2=1×16+0×8＋1×4+1×2+0×1

=16＋4+2

=（22）10

例 2 把（1110101）2改寫成十進(jìn)制數(shù)。

分析：因?yàn)槲粩?shù)太多，我們先從低位寫起。

解 （1110101）2=1×1+0×2+1×4+0×8+1×16+1×32+1×64

=1+4+16+32＋64

＝（117）10

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從上面兩道例題可以看到：將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫成十進(jìn)制數(shù)的第一步驟是：將二進(jìn)

制數(shù)的各數(shù)位上數(shù)字改寫成相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。因?yàn)槭恰皾M二進(jìn)一”，所以高位是相鄰

低一位數(shù)的 2 倍。一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的各個(gè)數(shù)位（由低位到高位）對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)的規(guī)律是：

1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，…

第二個(gè)步驟是將各數(shù)位上對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)求和，所得結(jié)果便是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

再看一題。

例 3 將（110100111）2改寫成十進(jìn)制數(shù)。

分析：還是由低位寫起。

解 （110100111）2=1×1+1×2+1×4＋0×8+0×16＋1×32＋0×64＋1×128＋1×256

=1+2＋4+32+128+256

＝（423）10

下面我們介紹如何將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)改寫成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。

例 4 把（60）10改寫成二進(jìn)制數(shù)。

解 （60）10=32＋28

=32+16+12

=32＋16＋8＋4

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=32+16+8＋4+0×2＋0×1

=（111100）2

說明：從解題過程中立即便能看出，將十進(jìn)制數(shù)寫成二進(jìn)制數(shù)的過程，正好與將

二進(jìn)制數(shù)改寫成十進(jìn)制數(shù)的過程相反：先由高位開始考慮，將十進(jìn)制數(shù)盡可能地湊出

相應(yīng)二進(jìn)制數(shù)的最高位，然后逐步往下進(jìn)行。

例 5 把（45）10改寫成二進(jìn)制數(shù)。

分析：（45）10不足 64，所以它對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)的最高位是 32，即 45=32＋13，

剩下的 13 不足 16，則向下一位考慮。45=32＋0×16＋（8＋5），剩下的 5 中包含一

個(gè) 4，即 45=32＋0×16＋8＋4＋1，最后一位數(shù)是 1，又不足 2，所以對應(yīng)的二進(jìn)位數(shù)

又空一位。

解 （45）10=32＋0×16＋8＋4＋0×2＋1

=（101101）2

練一練：

（1）將（31）10改寫成二進(jìn)制數(shù)；

（2）將（78）10改寫成二進(jìn)制數(shù)。

下面我們再介紹一種將十進(jìn)制數(shù)寫成二進(jìn)制數(shù)的常用方法--除二倒取余法。例

如要將（71）10寫成二進(jìn)制數(shù)，參見下式。我們將 71 除以 2，余數(shù) 1 相應(yīng)寫在右邊（如

果除盡，余數(shù)則寫 0）；再將商 35 除以 2，余數(shù) 1 相應(yīng)寫在右邊；再將這步的商 17

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除以 2，重復(fù)上述過程，直到商等于 1 為止。并且最后一步的商“1”也寫到右邊余數(shù)

那一列的最下面。最后將這列余數(shù)由下到上寫成一行數(shù)，這行數(shù)便是（71）10的二進(jìn)

制數(shù)表示法。即

（71）10=（1000111）2

例 6 用除二倒取余法將（38）10寫成二進(jìn)制數(shù)。

解 ∵

∴（38）10＝（100110）2

例 7 用兩種方法將（107）10改寫成二進(jìn)制數(shù)。

解 方法一

（107）10=64+43

=64＋32+11

=64＋32＋0×16+8+3

=64＋32+0×16＋8＋0×4+2+1

70

 

＝（1101011）2

方法二 ∵

∴（107）10=（1101011）2

 

練習(xí)九

 

1.把下面的二進(jìn)制數(shù)改寫成十進(jìn)制數(shù)。

①（10001）2； ②（11000）2；

③（101110）2； ④（111101）2；

⑤（1101001）2； ⑥（11011010）2。

2.把下面的十進(jìn)制數(shù)改寫成二進(jìn)制數(shù)。

①（19）10； ②（26）10； ③（54）10；

④（81）10； ⑤（123）10； ⑥（180）10。

3.現(xiàn)有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝碼各一枚，在天平上能稱出多少種不同重量的

物體？想一想這是為什么？與二進(jìn)制有關(guān)嗎？

71

 

 

十、二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算

同學(xué)們一定記得，剛上一年級學(xué)習(xí)加法運(yùn)算時(shí)有加法口訣到了學(xué)習(xí)乘法的時(shí)候，

又有“九九乘法口訣表”。背誦“九九表”對每個(gè)小同學(xué)來說都是一件十分辛苦而費(fèi)

時(shí)的事，所以當(dāng)時(shí)大家都希望“九九表”能夠簡單一些吧？由于我們使用的是十進(jìn)制，

所以它的四則運(yùn)算法則不可能太簡單。現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了二進(jìn)制數(shù)，而二進(jìn)制數(shù)中只有

兩個(gè)獨(dú)立的符號“0”與“1”，所以二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算法則就簡便多了！

加法法則：

0＋0=0；0＋1=1；

1＋0=1；1+1=10。

乘法法則：

0×0=0；0×1=0；

1×0=0；1×1=1。

上面列出的八條二進(jìn)制運(yùn)算法則可以歸納成八個(gè)字：“格式照舊，滿二進(jìn)一�！�

利用這一規(guī)則，可以很容易地實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算。只是對于減法，當(dāng)需要向上

一位借數(shù)時(shí)，必須把上一位的 1 看成下一位的（2）10。

下面是一些例子，右邊列的是十進(jìn)制下的對照：

加法運(yùn)算：

72

 

（100）2+（110）2＝（1010）2

1＋1=10，本位記 0，并向高位進(jìn) 1（即“滿二進(jìn)一”）

4＋6=10

減法運(yùn)算：

（1100）2-（1001）2=（11）2

被減數(shù)不夠減，向高位借 1 當(dāng) 2，2-1 得 1。

12-9=3