因數(shù)與倍數(shù)應用題答案
因數(shù)和倍數(shù)是揭示兩個整數(shù)之間的一種相互依存關(guān)系，下面是小編收集的因數(shù)與倍數(shù)應用題答案，歡迎閱讀與借鑒！
一、求因數(shù)的個數(shù)類應用題
1、筐內(nèi)有96個蘋果，如果不一次拿出，也不一個一個地拿，要求每次拿出的個數(shù)同樣多，拿完時又正好不多不少，共有多少種拿法？
分析解答：依題意，每次拿出的蘋果數(shù)×拿的次數(shù)=96，這個等式說明了什么呢？說明了每次拿的蘋果數(shù)和拿的次數(shù)是96的因數(shù)（或約數(shù)），這樣一分析，我們就知道解答此題實際上是要求96的因數(shù)分個數(shù)有多少個。
96=3×25，因因數(shù)個數(shù)定理公式知：96的因數(shù)個數(shù)是：（1+1）×（5+1）=12個；
12個因數(shù)包括了1和96這兩個因數(shù)，題目要求不能一次拿完，即：1次×96個=96個，這種情況要排除；同時也不能一個一個地拿，即：96次×1個=96個也要排除；
所以共有：12—2=10（種）拿法。
2、（1996年日本算術(shù)奧林匹克競賽）有50張卡片，分別寫著1—50這50個數(shù)字，正反兩面寫的數(shù)字相同，卡片一面是紅，一面是藍，某班有50名學生，老師把50張卡片中藍色的一面朝上擺在桌子上，對同學們說：“請你們按學號順序逐個到前面來翻卡片，規(guī)則是：凡是卡片上的數(shù)是自己學號的倍數(shù)，就把它翻過來，藍翻紅，紅翻藍”，那么當每個同學都翻完后，紅色朝上的卡片有幾張？
分析解答：由“凡是卡片上的數(shù)是學號的倍數(shù)，把它翻過來”知道，卡片翻幾次的由卡片上的數(shù)的因數(shù)個數(shù)決定的，卡片上的數(shù)的因數(shù)個數(shù)是幾，就翻動幾次。那么一張卡片翻動幾次紅色朝上呢？我們需要找規(guī)律，怎樣找規(guī)律呢？老師講過——從特殊到一般找規(guī)律。我們要一下找出50張卡片的規(guī)律有困難，我們只研究一張卡片。開始時是“藍色朝上”——翻動一次，紅色朝上；——翻動兩次藍色朝上（還原到原來的狀態(tài)）——翻動3次又的紅色朝上——翻動4次藍色朝上……；從中找到規(guī)律：翻動奇數(shù)次的卡片是紅色朝上的；翻動偶數(shù)次的卡片是藍色朝上。下面思考，1——50這50個數(shù)中那些數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)？我們學習了因數(shù)的個數(shù)定理：一個完全平方數(shù)的因數(shù)是奇數(shù)個，其它的數(shù)的因數(shù)是偶數(shù)個（包括1和自身因數(shù)），這樣問題就得到了解決，看1——50中那幾個數(shù)是完全平方數(shù)，顯然只有：1，4，9，16，25，36，49。下面的問題就是怎么敘述解答過程，
關(guān)于怎么敘述問題，這是現(xiàn)在五年級學生面臨的一個難點，因為此題的解答過程包含證明推理，而命題的證明要到初中二年級才開始學習。為了家長幫助學生建立這方面的能力，什么是推理和證明？推理是反映從已知判斷得出新的判斷的思維形式。一般地講邏輯推理只有兩種形式，即：假設(shè)判斷——如果A推出B（大前提），如果有A這個條件（小前提），則必定有B（結(jié)論）；第二種形式就是選言判斷，或者B成立或者B的否定成立（大前提），如果B的否定不成立，（小前提），則必有B成立（結(jié)論）。數(shù)學問題解答過程雖然不必規(guī)定唯一的敘述形式，但應有統(tǒng)一的要求，即敘述形式應合乎邏輯。五年級學生沒有學習命題的證明，只要能夠把推理的過程說清楚就可以了，現(xiàn)在說明推理的過程是有一定的困難，不要緊，從現(xiàn)在去慢慢練習，也為上中學作準備。下面敘述如下：
解答示范：每張卡片翻動奇數(shù)下紅色朝上，根據(jù)規(guī)則，凡是卡片上的數(shù)是學生學號的倍數(shù)，就把卡片翻動一次。也就是1—50這50個數(shù)它有多少個因數(shù)，卡片就翻動它的因數(shù)個次數(shù)。因為完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，1——50中完全平方數(shù)“1，4，9，16，25，36，49”的因數(shù)是奇數(shù)個，這些卡片被翻動了奇數(shù)次，所以，紅色卡片朝上的一共有7張，它們分別是：寫有數(shù)的“1，4，9，16，25，36，49”卡片。
3、在100至300之間，只有三個因數(shù)的數(shù)是多少？
分析及解答：通過上面一題的解答，我們知道“完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個”，100至300之間的數(shù)的因數(shù)個數(shù)只有3個的數(shù)一定是完全平方數(shù)。但要清楚是不是完全平方數(shù)的因數(shù)都是3個呢？我們研究一下，42=16是完全平方數(shù)，它的因數(shù)個數(shù)是：42=24，根據(jù)學習過的因數(shù)個數(shù)定理：16的因數(shù)個數(shù)是：4+1=5個。同學們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律沒有？——只有質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3個，如22，32，，52，72，112，132，……，我們把問題轉(zhuǎn)化為求“100至300之間有那幾個數(shù)是質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)”。
解答：因為只有質(zhì)數(shù)的平方的數(shù)的因數(shù)是3個，在100至300之間只有7個完全平方數(shù)：112，122，……172，但只有11，13，17是質(zhì)數(shù)。所以只有112=121，132=169，172=289這三個數(shù)的因數(shù)是3個。
二、分解質(zhì)因數(shù)類應用題
1、有4個小朋友，他們的年齡恰好一個比一個大1歲，并且他們年齡的乘積是360，那么其中年齡最大的一個是多少歲？
分析解答——像這種題，有的地方中考都出過，主要考察學生靈活運用知識的能力。對于小學生此題解答的思考不會出現(xiàn)干擾，但中學生因為方程的'知識比較牢固，認為問題中的數(shù)量關(guān)系明顯，列方程解答一定能夠解出來。設(shè)4個人的年齡分別是：X，X+1，X+2，X+3列方程是：X（X+1）（X+2）（X+3）=360，這個方程是高次方程，一般中學生是解不出來，只有學習了奧數(shù)的同學才有辦法解答。下面用學習過小學奧數(shù)“轉(zhuǎn)化的思想”老師解答一下，再次說明，學習數(shù)學要學習數(shù)學方法，看看小學奧數(shù)學習過的“轉(zhuǎn)化數(shù)學思想”的作用。
X（X+1）（X+2）（X+3）=360，高次方程我們通過轉(zhuǎn)化——把它轉(zhuǎn)化學習過的知識處理：初中一元二次方程。
原方程變形為：（X2+3X）（X2+3X+2）—360=0；
（X2+3X）2+2（X2+3X）—360=0
上面轉(zhuǎn)化為我們學習過的一元二次方程了，這中關(guān)鍵的一步。
設(shè)：（X2+3X）=Y，即：Y2+2Y—360=0，解答Y1=—20（舍去），Y2=18；
因假設(shè)知：（X2+3X）=18，解這個一元二次方程：X1=—6（舍去），X2=3
這樣4個人年齡中最大的是：X+3=6歲。
方法二，分解質(zhì)因數(shù)方法
從上面解答過程看，用代數(shù)的方法解答過程是復雜的，有時，在解答數(shù)學問題中，算術(shù)方法更為簡便。這在中學處理有些問題中也經(jīng)常用到。特別是在解答選擇和填空題時。
360=23×32×5；
然后按照題意，把上面分解后的6個數(shù)進行組合成為4個數(shù)的乘積，即：
360=3×4×5×6；顯然最大的年齡是6歲。
2，某班王老師帶領(lǐng)全班同學去植樹，學生恰好平均分成三組，如果老師與同學每人植樹一樣多，則共植樹572棵，那么這個班有學生多少人，每人植樹多少棵？
分析解答——依題意知道，植樹總數(shù)=每人植樹棵數(shù)×師生總數(shù)，
師生總數(shù)=每組學生數(shù)×3組+1名老師，說明師生總數(shù)除以3，余數(shù)是1。
572=2×2×11×13，
依題意，把分解得到是質(zhì)因數(shù)進行組合得：
572=11×52=11×（51+1）
因此，這個班學生51人，每人植樹11棵；
注意：572=44×13=44×（12+1），這里，全班人數(shù)12人，老師1人，每人植樹44棵情況不符合題意——一個班學生人數(shù)應該不是12人；
三、奇數(shù)與偶數(shù)類應用題
自然數(shù)按奇偶性分類，分為奇數(shù)與偶數(shù)，利用奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)可以解決一些有趣的問題。
奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)奧數(shù)教材第21頁進行了歸納，這些性質(zhì)要熟記。幾點要注意：
1，偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)；
2，在運算中，加法與減法運算結(jié)果的的奇偶性不變。也就是：偶數(shù)個奇數(shù)的差是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的差仍然是奇數(shù)；
3、奇數(shù)≠偶數(shù)
例題1：9只杯子全部口朝上，每次翻動其中的4只杯子，能否經(jīng)過若干次翻動，使9只杯子開口全部朝下？
分析解答——由題目知道，每次翻動4只杯子，翻動若干次，那么具體一共翻動的次數(shù)的確切數(shù)是無法確定的。審題后要知道，一個問題只能用奇偶性解決。我們先研究一只杯子，翻動1次口朝下，翻動2次口朝上，翻動3次口朝下……，每只杯子要口朝下必須翻動奇數(shù)次，這樣問題就找到了解答的方案。
敘述解答過程：每只杯子只有翻動奇數(shù)次口才能朝下，要使9只杯子口全部朝下，翻動的總次數(shù)是9個奇數(shù)的和。因為奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以，翻動的總次數(shù)是奇數(shù)。依題意，每次翻動4只杯子，翻動的總次數(shù)是4的倍數(shù)，這個總次數(shù)是偶數(shù)，前后矛盾，即奇數(shù)≠偶數(shù)，所以，無論怎么翻動，都不能使9只杯子的口朝下。
例題2（奇偶性中的周期問題）一個會議室有9盞燈，從1——9依次編號，開始時，只有編號是2，6，9的燈是亮著的，一個同學按1——9，再按1——9順序不停地拉動開關(guān)，一共拉了300下，這時編號是幾的燈是不亮著的。
分析解答——每盞燈拉動開關(guān)奇數(shù)下改變原來的狀態(tài)，即暗的變亮，亮的變暗。
300÷9=33……3，所以，1，2，3號燈拉動了34次，拉了偶數(shù)下，不改變原來的狀態(tài)，即原來是亮的仍然亮，原來是暗的仍然暗；4，5，6，7，8，9拉了33下，是奇數(shù)下，改變原來的的狀態(tài)，原來亮的變暗，原來暗的變亮。所以不亮的燈是：1，3，6，9號。
四，數(shù)的倍數(shù)（整除）類應用題
數(shù)論問題是數(shù)學“王國”中最有趣的數(shù)學知識，無論你的學歷高低都能夠研究這部分的內(nèi)容，通過對數(shù)論的研究，可以訓練人的分析問題和邏輯推理能力。要熟練地解答整除問題類應用題，必須對2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13倍數(shù)的數(shù)的特征（或能夠被以上數(shù)整除的數(shù)的特征）十分清楚，并能夠把知識靈活運用。
例題1（奧數(shù)教材第29頁練習3）六一兒童節(jié)快到了，四（2）班的同學分成4組做綢花，每個小組做的綢花一樣多，馬大哈統(tǒng)計了一下說“還是人多力量大，大家一共做了246朵綢花”，馬大哈統(tǒng)計對了嗎？為什么？
分析解答——四（2）班同學做的花總數(shù)=每個組做的花×4，花的總數(shù)是4的倍數(shù)；下面就看246朵是不是4的倍數(shù)，問題就解決了。
答：馬大哈統(tǒng)計錯了。因為，花的總數(shù)=每個組做的花×4，花的總數(shù)是4的倍數(shù)；4是倍數(shù)的數(shù)的特征是末兩位數(shù)的4的倍數(shù)，而246的麥兩位數(shù)46不能被4整除，246不是4的倍數(shù)，所以，馬大哈統(tǒng)計錯了。
例2、有72名學生，共交課間餐費A52.7B元，平均每人交多少元？
分析解答——把課間餐費化為分，則總錢數(shù)A527B（分）一定是總?cè)藬?shù)72的倍數(shù)，又72=8×9，所以，A527B是8和9的倍數(shù)。根據(jù)8的倍數(shù)特征：一個數(shù)的后三位組成的數(shù)是8的倍數(shù)，這個數(shù)就是8的倍數(shù)。即：27B是的的倍數(shù)，只有B=2，這個數(shù)變?yōu)榱薃5272，又這個數(shù)是9的倍數(shù)，它的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，A+5+2+7+2=A+16，所以，A=2，72名學生的課間餐費總數(shù)是：25272分；平均每個同學交：25272÷72=351（分）=3.51（元）
例題3（奧數(shù)教材第34頁練習4）、新學期開學了，學校為了使同學們有一個更加方便的讀書環(huán)境，新買了18個書架，可是會計不小心把發(fā)票給弄污了，單價只剩下2個數(shù)字“2**0元”，總價也只剩下2個數(shù)字“*4*8*元”你能幫助算出單價和總價嗎？
分析解答——由題意，總價一定是18的倍數(shù)，又18=2×9，總價一定能夠被2和9整除，又單價的個位數(shù)字是0，18乘以單價的個位數(shù)字一定是0，所以，總價的個位數(shù)為0，即：總價是：A4B80元，這個數(shù)是2、9的倍數(shù)。又知道單價是2千多元，總價一定：
18×2000<總價<18×2990，36000<總價<53820，而總價的千位上的數(shù)字是4，所以總價萬位的的數(shù)字只能是4，所以總價是：44B80，4+4+B+8+0=16+B要是9的倍數(shù)，則B=2，總價是44280元，單價是：44280÷18=2460（元）
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