不等式的證明的內容

時間：2024-07-06 09:24:44

不等式的證明的內容

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不等式的證明的內容

　　教學目標

　　（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

　�。�2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；

　�。�3）能靈活根據題目選擇適當?shù)刈C明方法來證不等式；

　　（4）能用不等式證明的方法解決一些實際問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；

　　（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

　�。�7）通過組織學生對不等式證明方法的意義和應用的參與，培養(yǎng)學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣．

　　教學建議

　　（一）教材分析

　　1．知識結構

　　2．重點、難點分析

　　重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；

　　難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

　�、诰C合性問題選擇適當?shù)淖C明方法．

　�。�1）不等式證明的意義

　　不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立．

　�。�2）比較法證明不等式的分析

　�、僭谧C明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

　　②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

　　由于，因此，證明，可轉化為證明與之等價的．這種證法就是求差比較法．

　　由于當時，，因此，證明可以轉化為證明與之等價的．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式時，一定要注意的前提條件．

　�、矍蟛畋容^法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．

　　其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．

　　變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．

　　變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．總之．能夠判斷出差的符號是正或負即可．

　　④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證明．

　�。�3）綜合法證明不等式的分析

　�、倮媚承┮呀涀C明過的不等式和不等式的性質推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

　　②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

　�、劬C合法證明不等式的邏輯關系是：

　　… ．

　　（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結論）

　�、芾镁C合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換是證明不等式的關鍵．

　�。�4）分析法證明不等式的分析

　�、購那笞C的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

　　有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據．

　�、诜治龇ǖ乃悸肥恰皥�(zhí)果導因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

　�、塾梅治龇ㄗC明不等式的邏輯關系是：

　　… ．

　�。ㄒ阎ㄖ鸩酵蒲莶坏仁匠闪⒌谋匾獥l件）（結論）

　　④分析法是教學中的一個難點，一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關（分析推理）步驟的關鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

　　⑤分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效．

　�。�5）關于分析法與綜合法

　�、俜治龇ㄅc綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

　�、谠�數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論已知．

　　綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知結論．

　�、鄯治龇ǖ奶攸c是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件．

　　綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

　�、芨饔衅鋬�(yōu)缺點：

　　從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因導果，往往枝節(jié)橫生，不容易達到所要證明的結論．

　　從書寫表達過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰．

　　也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達．

　�、菀话銇碚f，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的．

　�。ǘ┙谭ńㄗh

　　①選擇例題和習題要注意層次性．

　　不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發(fā)學生理解各種證法的意義和邏輯關系．教師選擇的訓練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當．

　　要堅持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯(lián)系，對知識進行拓展、延伸，使學生溝通知識，有效地提高解題能力．

　�、谠�教學過程（）中，應通過精心設置的一個個問題，激發(fā)學生的求知欲，調動學生在課堂活動中積極參與．

　　通過學生參與教學活動，理解不等式證明方法的實質和幾種證明方法的意義，通過訓練積累經驗，能夠總結出比較法的實質是把實數(shù)的大小順序通過實數(shù)運算變成一個數(shù)與0(或1)比較大��；復雜的習題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結論方向轉化，利用分析法能夠把結論向條件靠攏，最終達到結合點，從而解決問題．

　�、蹖W生素質較好的，教師可在教學中適當增加反證法和用函數(shù)單調性來證明不等式的內容，但內容不易過多過難．

　　第一課時

　　教學目標

　　1．掌握證明不等式的方法——比較法；

　　2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

　　教學重點 比較法的意義和基本步驟.

　　教學難點 常見的變形技巧.

　　教學方法啟發(fā)引導式.

　　教學過程（）

　　（－）導入新課

　�。ń處熁顒樱┙處熖釂枺焊鶕耙还�(jié)學過的知識，我們如何用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù) 與的大��？．

　�。▽W生活動）學生思考問題，找學生甲口答問題．